Aioli is a sauce made of garlic and olive oil. PERIOD!
Egg yolk is a commonly used emulsifier but mustard and garlic both have emulsion-producing properties. Classic aioli is made without egg, though many aioli recipes use it.
For traditional aioli the garlic is ground in a mortar while adding small amounts of olive oil, leading to a smooth and very strong tasting aioli. (d’alh = garlic and òli =olive oil) nothing should be added to it ! It takes a while, it is hard but it should be done this way.
Last but not least, tradition are also a way of life in Provence and you should follow those rules when you make it :
1) Obviously the Olive Oil should be “Première Pression à froid” and the Garlic should be fresh and Organic!
2) You should not be disturbed during this period by any noise nor other activities (cicadas singing are NOT considered as noise!)
3) The sky should be blue and no storm should be coming
4) The room should be tempered, in the shade, and never make aioli outside!
5) Old saying discourage a woman having its period to make aioli (don’t laugh, some people still do believe in this!)
6) Best to make it in Provence!

Aïoli ou sauce aillade (source « le cuisinier moderne », by G GARLIN, Edition 1889)
« Mettez une ou deux gousses d’ail dégermées dans un mortier, pilez jusqu’à ce que set ail soit en sorte anéanti, puis, vous cassez un œuf dont vous prenez le jaune que vous mettez dans le mortier et l’assaisonnez de sel, poivre blanc, un peu de Cayenne et un peu de muscade, pilez en tournant le pilon sur lui-même et ajoutez petit à petit la valeur d’un quart ou d’une demi-livre de bonne huile d’olive, en ajoutant de temps en temps un peu de jus de citron afin que votre sauce ne tourne pas et en même temps pour l’assaisonner. Cette sauce doit être tenue au frais comme la mayonnaise, la tartare ou la rémoulade. Servez-la aux articles indiqués dans une saucière frappée.
Dans le midi, cette sauce est simplement prise à l’huile d’olive, sans le secours de jaune d’œuf et nullement assaisonné. »

The original Aioli is very difficult to succeed this is why most of cook adds either a egg yoke or lemon juice to make the emulsion but the people from Provence will call this « Mayonnaise à l’Ail » and will not like it to be called Aioli!